Question

已知函数f（x）=xlnx,g(x)=-x^2+ax-3

（1）求函数f（x）在[t,t+2]（t>0）上的最小值
（2）对一切x∈(0,+∞),2f(x)>=g(x)恒成立，求实数a的取值范围
（3）证明：对一切x∈(0,+∞),都有lnx>1/e^x-2/ex成立

Answer 1

(1)令f'(x)=lnx+1=0,得x=1/e,
当0<t<1/e时f(x）在[t,1/e]上是减函数，
在[1/e,t+2]上是增函数，
所以f(x)在[t,t+2]上的最小值是f(1/e)=-1/e；
当t>=e^(-1)时，f(x)在[t,t+2](t>0)是增函数，
f(x)在[t,t+2]的最小值是f(t)=tlnt.
(2)由不等式2f(x)≥g(x)
得2xlnx≥-x^2+ax-3 ，
即2lnx+x+3/x≥a,
令G(x)=2lnx+x+3/x，
对G(x)求导得
G'(x)=2/x+1-3/x^2=(x^2+2x-3)/x^2=(x+3)(x-1)/x^2
令G'(x)=0
得x=-3或x=1,
所以G(x)在(0,1)是减函数，在[1,∞)上是增函数，x=1是最小值点。
故有 G(x)的最小值是G(1)=4，
所以a≤4.
(3)由lnx>1/(e^x)-2/(ex)可得
lnx-[1/(e^x)-2/ex)]>0
令H(x)=lnx-[1/(e^x)-2/(ex)]
求导得 H'(x)=(1/x)+1/e^x+2/(ex^2)

Answer 2

1、f'(x)=2(lnx+1)
0<x<1/e f'(x)<0 f(x)递减 x>1/e f'(x)>0 f(x)递增
所以x=1/e是极小值点，又唯一，那么就是最小值点
最小值是f(1/e)=-2/e
2、
2xlnx<=-x^2+ax-3 a<=x+2lnx+3/x恒成立 所以a<=min{x+2lnx+3/x}
令h(x)=x+2lnx+3/x
h'(x)=1+2/x-3/x^2=(x^2+2x-3)/x^2=(x+3)(x-1)/x^2
0<x<1 h'(x)<0 h(x)递减 x>1 h'(x)>0 h(x)递增
所以h(x)最小值是h(1)=4
所以a<=4
3、可以看H(x)=x/e^x-2/e
H'(x)=(1-x)/e^x
0<x<1 H'(x)>0 x>1 H'(x)<0
H(x)最大值为H(1)=-1/e
而由第一问可知xlnx>=-1/e>=x/e^x-2/e
且两个等号不同时成立
所以xlnx>x/e^x-2/e
所以lnx>(1/e^x-2/ex)

Answer 3

f'(x)=(xlnx)'=lnx+1
当1
t≤x≤t+2时lnx+1>0,即f(x)，单调增加
所以f(x)在[t,t+2]上的最小值为f(t)=tInt