很难的一道数学分析题,求大神 10
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这是在泛函分析和偏微分方程中很有用的Holder 连续性条件。(参考维基百科【赫尔德条件】)题目可以算做实分析的题目了。
首先,sup > = 导数。
取x=1/(2nπ+π/2), y=0 知α < = 1.
求导数知α = 1 时无界 (导数为 - cos[1/x]/x + sin[1/x] )。
显然α=0时有界。
容易看出f有界,且只有 x-y 趋向于0的时候 |f(x)-f(y)| / |...| 可能趋向于无穷。
现在只需考虑0 < α < 1 的情况,并且容易看出只需考虑x y 不等于0的情况。
取x=1 / (2 n π + π/2), y= 1 / (2 n π),
我们有
(f (x) - f (y)) / (x - y)^α
= x / (x - y)^α = - (π/2)^(-α) (2 n π+π/2)^(α-1) (2 n π)^α
α > 1/2 则n趋向无穷时候无界。【其实取nπ 就可以了】
所以 α < = 1/2.
不失一般性,设 1 > x > h = x - y > 0. 代入
(f (x) - f (y)) / (x - y)^α
分母添加 - (x-h) sin(1/x) + (x-h) sin(1/x) 之后做估计,可能需要先做 sin(1/x)的Holder连续性估计。没时间做了,你自己试试吧。答案应该是α = 1/2.
首先,sup > = 导数。
取x=1/(2nπ+π/2), y=0 知α < = 1.
求导数知α = 1 时无界 (导数为 - cos[1/x]/x + sin[1/x] )。
显然α=0时有界。
容易看出f有界,且只有 x-y 趋向于0的时候 |f(x)-f(y)| / |...| 可能趋向于无穷。
现在只需考虑0 < α < 1 的情况,并且容易看出只需考虑x y 不等于0的情况。
取x=1 / (2 n π + π/2), y= 1 / (2 n π),
我们有
(f (x) - f (y)) / (x - y)^α
= x / (x - y)^α = - (π/2)^(-α) (2 n π+π/2)^(α-1) (2 n π)^α
α > 1/2 则n趋向无穷时候无界。【其实取nπ 就可以了】
所以 α < = 1/2.
不失一般性,设 1 > x > h = x - y > 0. 代入
(f (x) - f (y)) / (x - y)^α
分母添加 - (x-h) sin(1/x) + (x-h) sin(1/x) 之后做估计,可能需要先做 sin(1/x)的Holder连续性估计。没时间做了,你自己试试吧。答案应该是α = 1/2.
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