Question

一道代数题求解

如何通过条件x+y+z=2, x^2+y^2+z^2=2
得出 x(1-x)^2=y(1-y)^2=z(1-z)^2
谢谢

Answer 1

证明：
x+y+z=2
x+y=2-z
(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)=2+2(xy+yz+zx)=4
xy+yz+zx=1
xy=1-yz-zx=1-z(x+y)=1-z(2-z)=z^2-2z+1=(z-1)^2
同理可证yz=(x-1)^2,zx=(y-1)^2
可以得到
x(1-x)^2=xyz
y(1-y)^2=xyz
z(1-z)^2=xyz

因此x(1-x)^2=y(1-y)^2=z(1-z)^2

Answer 2

假设其中任意一个未知量为0，其他2个都为1就可以了。

Answer 3

x+y+z=2， x^2+y^2+z^2=2 1
y+z+x=2， y^2+z^2+x^2=2 2
z+x+y=2， z^2+x^2+y^2=2 3
其实x,y,z地位是相同的
把x(1-x)^2中的x看成是第一个数
2式中y为第一个数，3式中z为第一个数
可以知道是相等的。
利用的是轮换对称性，其实任何式子应该都是相等的
如果只是一道大题目中的一个解答过程，知道这样可以了
非要证明应该是可以的

Answer 4

两式相减得

x-x2+y-y2+z-z2=0

x(1-x)+y(1-y)+z(1-z)=0

设x(1-x)2=y(1-y)2=z(1-z)2=k,如果能够推导到x2+y2+z2=2证明可以得出结果

x(1-x)=k/(1-x)

k/(1-x)+k/(1-y)+k/(1-z)=0

(1-y)(1-z)+(1-x)(1-z)+(1-x)(1-y)=0

1-z-y+zy+1-z-x+zx+1-x-y+xy=0

3-2z-2y-2x+xy+yz+zx=0

xy+yz+zx=1,2xy+2yz+2zx=2

x2+y2+z2+2xy+2zy+2zx=4

x2+y2+z2=2