Question

已知，△ABC中,E是内心,角A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D,求证DE=DB=DC.

Answer 1

首先要知道三角形内心的一个性质.以该三角形为例:
角AEB=90+角C/2................(1)

证明很简单如下:
角AEB+ 角EAB+角EBA=180
即
角AEB+ 角A/2+角B/2=180.........(2)
又A+B+C=180所以A/2+B/2+C/2=90........(3)
带入(2)就有
角AEB=90+角C/2

然后回到该题:
三角形EBD中
角EBD=角EBC+角CBD
=B/2+角CAD
=B/2+A/2
而有三角形内心性质(1)有
角AEB=90+角C/2
所以补角
角BED=180-角AEB
=90-C/2
=B/2+C/2 (利用(3))
=角EBD
即三角形EBD为等腰三角形
所以
ED=BD

同理三角形EDC中
DE=DC

所以
BD=ED=DC