Question

已知F(X)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的AB属于R都满足：F(A*B)=A*F(B)+B*F(A)

(1)求F(0),F(1)的值
（2）判断F（X）的奇偶性，并证明你的结论
（3）若F（-2）=-2，求F（64）的值

Answer 1

1.
令a=b=0
代入 F(A*B)=A*F(B)+B*F(A)
所以 F(0)=0

令a=b=1
代入 F(A*B)=A*F(B)+B*F(A)
所以 F(1)=0

2.
令a=b=-1
代入 F(A*B)=A*F(B)+B*F(A)
所以 F(-1)=0

令b=-1
代入 F(A*B)=A*F(B)+B*F(A)
得代入 F(-a)=A*F(-1)-F(A)=-F(A)
所以说是奇函数

3.
F（-2）=-2
是奇函数
F（2）=2

令a=b=2
代入 F(A*B)=A*F(B)+B*F(A)
所以 F(4)=8

令a=b=4
代入 F(A*B)=A*F(B)+B*F(A)
所以 F(16)=64

令a=16 b=4
代入 F(A*B)=A*F(B)+B*F(A)
所以 F(64)=384

Answer 2

(1)由F(2*0)=2F(0)+0*F(2)得F（0）=0
由F（1*1）=1*F(1)+1*F(1)=2F(1)得F(1)=0

(2)由F(-1*(-1))=-1*F(-1)-1*F(-1)=-2F(-1),又F(1)=0 得F(-1)=0
则F(-x)=-F(x)+xF(-1)=-F(x) 故F(x)为奇函数

（3）F(64)=8F(8)+8F(8)=16F(8)=16[2F(4)+4F(2)]=32F(4)+64(2)
=32[2F(2)+2F(2)]+64F(2)=192F(2)=-192F(-2)=-192*(-2)=384