Question

求收敛半径和收敛区间

Answer 1

解：∵ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=1，∴收敛半径R=1/ρ=1。
　　又lim(n→∞)丨Un+1/Un丨=丨x丨/R<1，∴丨x丨<1。
　　而当x=1时，lim(n→∞)an=1≠0，有级数收敛的必要条件判断，发散；当x=-1时，是交错级数，不满足莱布尼兹判别法条件，发散。∴收敛区间为-1<x<1。
　　供参考。

追问

难道不满足莱布尼兹条件就发散，我记得好像不是这样的

追答

　　对交错级数，常用而简单的判别方法，就是莱布尼兹判别法。【莱布尼兹判别法，两条件：Un→0，Un≥Un+1】。供参考。

Answer 2

设c_n=(n^2)/(n^2+1), 则R=lim[c_n/c_{n+1}]=1, 故收敛半径为1，
又，当x=1或-1时，通项的极限不为0，根据必要条件判别法可知，在端点x=1或-1处级数发散。故收敛区间为(-1,1).

Answer 3

如果x是一次的，就是最基本的形式，就直接用 不计x的第n+1项u(n+1) 除以 不计x的第n项u(n) (n→∞)，即ρ=lim(n→∞) u(n+1)/u(n)【这个u是不包括x的】，半径R=1/ρ
如果x不是一次的，那ρ=lim(n→∞) | u(n+1)/u(n) |【这个u是包括x的】，这样计算出来的u应该是包含了x的几次幂的，然后这个算出来的绝对值也就是ρ要小于1，原理和之前的审敛法一样，ρ<1级数是收敛的。计算出来的x的取值范围就是收敛区间。
当然，上述两种情况算出来的还不能叫区间，因为端点都是要特别讨论的。
举例
1.Σx/2^n
ρ=lim(n→∞) [1/2^(n+1)]/[1/2^n]=1/2<1 所以级数收敛，R=1/ρ=2，然后单独讨论端点…
2.Σx^n/2^n
ρ=lim(n→∞) | [x^(n+1)/2^(n+1)]/(x*n/2^n) |=| x/2 |
令ρ<1，则| x/2 |<1，即-1<x/2<1，所以-2<x<2，再单独讨论端点（这种x不是一次方的情况一般不会问收敛半径的，因为ρ经常算出来不是关于0点对称的，我举得例子是太简单了…= =如果真要求的话，就还是1/ρ，比如这题就是2）