Question

初三数学题求解

有一圆弧形桥拱，水面AB宽32米，当水面上升4米后，水面CD宽24米，此时水面以每小时0.25米的速度上升，再经过几个小时，洪水漫过桥面

Answer 1

1）因正方形ABCD中，CD垂直于AD，当O，D，A在同一直线上时，当然就有CD垂直于圆O的半径OD，此时CD就是圆O的一条切线了。
2）当CD与圆O相切时，OD=1，且O，A，D在同一直线上，设正方形边长为a，
当切点D在x轴上方时，OA=a-1,AB=a,OB=5，利用勾股定理知，(a-1)^2+a^2=5^2,化简为：a^2-a-12=0,解得a=4(a=-3舍去）。那么，tan角ABO=OA/AB=3/4，因CD//AB，故CD斜率k1=3/4，而OD与CD垂直，故OD的斜率为-1/k1=-4/3，OD的方程为y=-4/3*x与圆O的方程x^2+y^2=1联立解得D(-3/5,4/5)[注，另一解因在x轴下方，舍去。]所以，CD的方程为：y-4/5=3/4(x+3/5)即y=3/4*x+5/4;
当切点D在x轴下方时，OA=a+1,AB=a,OB=5,利用勾股定理得：(a+1)^2+a^2=5^2,解得a=3（a=-4舍去）。那么，tan角ABO=4/3,因 CD//AB,故CD斜率k2=4/3.OD斜率为-3/4.OD的方程为y=-3/4*x,把它与圆O方程x^2+y^2=1联立，解得，D(4/5,-3/5)[注，另一解因在x轴上方，舍去。）因此，CD方程为：y+3/5=4/3（x-4/5)即y=4/3*x-5/3.
总之，当直线 CD与⊙ O相切时，CD 所在直线对应的函数关系式为y=(3x+5)/4或y=(4x-5)/3.
3)设D点坐标为（cost，sint），那么正方形ABCD对角线BD长为：BD=根号((5-cost)^2+(sint-0)^2)=根号(25-10cost+1)=根号（26-10cost），这时正方形的面积S=BD^2/2=13-5cost,若D的横坐标cost=x,那么S=13-5x.因D点在圆O上运动，则-1=x=1.
当x=-1时S最大等于18，当x=1时S最小等于8.
答案补充
如图。

Answer 2

分别取AB的中点弧AB的中点为E，F，交CD于G，设FG=X，分别连接AF，CF，过G点做FA的平行线交AB于M，则GM=4倍根号2，4/（4+X）=4倍根号2/{16的平方+（4+X）的平方}开根号 所以X=12 T=12/0.25=48

Answer 3

如图

16小时 水面到达圆弧顶，？？？水面时候漫过桥面？？圆弧顶到桥面有多少？？？