Question

在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=1/2，a+b+c=sinA+

在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=1/2，a+b+c=sinA+sinB+sinC。
求角A的大小
求三角形ABC周长的最大值

Answer 1

∵a=1/2
又，a+b+c=sinA+sinB+sinC
∴ a+b+c=2asinA+2asinB+2asinC
∴ sinA+sinB+sinC=2sin²A+2sinAsinB+2sinAsinC
∴ sinA+sinB+sinC-2sin²A-2sinAsinB-2sinAsinC=0
∴ (sinA+sinB+sinC)(1-2sinA)=0
∴sinA=1/2
∵锐角三角形
∴A=30°

追答

∴B+C=180°-A=150°
∴C=150°-B
又，b=asinB/sinA=(1/2)sinB/(1/2)=sinB
同理，c=sinC
∴周长=a+b+c
=1/2+sinB+sinC
=1/2+sinB+sin(150°-B)
=1/2+sinB+sin150°cosB-cos150°sinB
=1/2+sinB+1/2sinB+✔3/2cosB
=1/2+✔3(sinBcos30°+cosBsin30°)
=1/2+✔3sin(B+30°)
≤1/2+✔3
∴周长最大值1/2+✔3

∴B+C=180°-A=150°
∴C=150°-B
又，b=asinB/sinA=(1/2)sinB/(1/2)=sinB
同理，c=sinC
∴周长=a+b+c
=1/2+sinB+sinC
=1/2+sinB+sin(150°-B)
=1/2+sinB+sin150°cosB-cos150°sinB
=1/2+sinB+1/2cosB+✔3/2sinB

Answer 2