Question

（解析几何问题）设双曲线C:x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的离心率为e

设双曲线C:x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的离心率为e，若准线l与两条渐近线相交于P、Q两点，F为右焦点，△FPQ为等边三角形。
（1）求双曲线的离心率E的值
（2）若双曲线C被直线y=ax+b截得的玄长为(b^2e^2)/a,球双曲线方程

Answer 1

【注：此处的准线应是右准线.】（一）易知，右准线L:x=a²/c.右焦点F(c,0),渐近线：bx±ay=0.由题设可得：（ab/c)√3=c-(a²/c).===>b=a√3.∴由a²+b²=c².得4a²=c².===>e²=4.===>e=2.(二）由前可知，弦长=（b²e²)/a=12a.将直线方程与双曲线方程联立并注意b=a√3,得：(a²-3)x²+(2√3)a²x+6a²=0.⊿=12a²(6-a²).由“圆锥曲线弦长公式”可得：√[12a²(6-a²)(1+a²)]/|a²-3|=12a.===>a²=2(舍）,或a²=51/13.∴b²=153/13.∴双曲线方程：(13x²/51)-(13y²/153)=1.

Answer 2

渐近线：y=b/ax 准线：x=a^2/c 得 P(a^2/c,ab/c) 已知F（c,0)
因为△FPQ为等边三角形，所以 角PFO是30度
（ab/c）/（a^2/c-c）=-tan30=-1/2
又因为c^2=a^2+b^2得a/b=1/2
推得e=c/a=根号5

Answer 3

易知，右准线L:x=a²/c.右焦点F(c,0),渐近线：bx±ay=0.由题设可得：（ab/c)√3=c-(a²/c).===>b=a√3.∴由a²+b²=c².得4a²=c².===>e²=4.===>e=2.(二）由前可知，弦长=（b²e²)/a=12a.将直线方程与双曲线方程联立并注意b=a√3,得：(a²-3)x²+(2√3)a²x+6a²=0.⊿=12a²(6-a²).由“圆锥曲线弦长公式”可得：√[12a²(6-a²)(1+a²)]/|a²-3|=12a.===>a²=2(舍）,或a²=51/13.∴b²=153/13.∴双曲线方程：(13x²/51)-(13y²/153)=1.