Question

等价无穷小在什么时候可以替换？假如只替换了分子，没有替换分母，答案也是对的吗？

Answer 1

常见的等价无穷小有：

ln(1+x)…………x

e^(x)-1…………x

[n次根号下（1+x）] - 1 ………………x/n

tanx…………x

arcsinx…………x

1-cosx…………x²/2

等价无穷小是现代词，是一个专有名词，指的是数学术语，是大学高等数学微积分使用最多的等价替换。

无穷小就是以数零为极限的变量。

确切地说，当自变量x无限接近某个值x0(x0可以是0、∞、或是别的什么数)时，函数值f(x)与零无限接近，即f(x)=0(或f(x0)=0)，则称f(x)为当x→x0时的无穷小量。 

例如，f(x)=(x－1)2是当x→1时的无穷小量，f(n)=1/n是当n→∞时的无穷小量，f(x)=sinx是当x→0时的无穷小量。特别要指出的是，切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。

等价无穷小：

从无穷小的比较里可以知道，如果lim b/a^n=常数，就说b是a的n阶的无穷小， b和a^n是同阶无穷小。特殊地，如果这个常数是1，且n=1，即lim
b/a=1，则称a和b是等价无穷小的关系，记作a～b

等价无穷小在求极限时有重要应用，我们有如下定理：假设lim a～a'、b～b'则：lim a/b=lim a'/b'

现在我们要求这个极限 lim(x→0) sin(x)/(x+3)

根据上述定理 当x→0时 sin(x)～x (重要极限一) x+3～x+3 ，那么lim(x→0) sin(x)/(x+3)=lim(x→0)
x/(x+3)=1

Answer 2

一般来说，等价无穷小的替换，乘除法中可以用。加减法中尽量不要用。
至于你说的只替换分子，不替换分母；或者只替换分母，不替换分子。这都是在等价无穷小替换中常见的情况。
因为等价无穷小的替换原则是从复杂、难的无穷小，替换成简洁容易的无穷小。
所以如果分子或分母中，一方已经是简洁容易的无穷小了，当然就无需替换这一方了。

追问

谢谢

像这种情况分子可以替换吗

追答

x是趋近于哪个值？
只有x趋近于2kπ（k是整数）的时候，分子才是无穷小
当然从分母看，需要x＞0，所以2kπ的k只能取自然数。
才可以替换为等价无穷小x²/2
但是，当x→2kπ（k是自然数）的时候，分母并不是无穷小
所以这时候，你为什么要把分子等价替换呢？
分子极限是0（是无穷小），分母极限不是0，直接就可以得到整个分式的极限是0了，还来搞个等价替换，是多此一举，没必要。
如果x不是趋近于2kπ（k是自然数），那么分子就不是无穷小，当然不能替换。直接把x带入计算就可以了。
如果x是趋近于π/2+2kπ（k是自然数），那么虽然cosx是趋近于0，是无穷小，但是这样的话，不能将1-cosx视为一个整体，所以分子整个不是无穷小，也就不存在是否替换的问题，也是直接把x的值带入计算即可。
所以就你给的这个式子，求极限的时候，我没想明白x趋近于哪个值的时候，需要用到无穷小的等价替换。因为就这个式子而言，当x趋近的值不是2kπ（k是自然数）的时候，分子不是无穷小，不能替换；而当x趋近的值是2kπ（k是自然数）的时候，分子是无穷小，但分母不是无穷小，可以直接计算，无需替换。
所以替换了干嘛？

追问

我这句话对吗

也就是说分子分母的最后结果必须都趋近于0.才可以用等价无穷小吗

这种情况下，sinx可以替换成x

这里就没有分子分母了

吗

对吗

追答

也就是说分子分母的最后结果必须都趋近于0.才可以用等价无穷小吗
应该说，只有分子分母都是无穷小的时候，等价无穷小替换才有价值。

如果一方是无穷小，另一方不是，等价无穷小替换还是可以进行，只是无价值而已。

做起来无价值和做起来不允许是两个不同的概念。无价值的事情可以做，只是做了没好处。不允许的事情就不准做。

至于你的这个图片上的。

我前面说了，只有乘除的时候，才能使用等价无穷小，其他情况下都要慎用，最好不用。

所以作为你的这个图片上的，叫做幂指函数，是不能用等价无穷小替换的。

这个式子必须用对数的方法，化为分式才行

总之，不是乘除法的话，就最好不要用等价无穷小替换。

追问

最后我把它替换了，答案是一样的，应该是巧合把

谢谢

追答

那只是巧合，所以不是乘除法的情况下，不要替换。

追问

谢谢

Answer 3

这个洛必达就可以