Question

级数1/n*sinn兀/2的敛散性

Answer 1

结果为：收敛。

解题过程：

∵n→∞时，sin(π/3^n)~π/3^n

∴级数∑(2^n)sin(π/3^n)与级数∑(2^n)[(π/3^n)]有相同的收敛性

∵∑(2^n)[(π/3^n)]=π∑(2/3)^n，是首项为1【或者2/3或其它定值，视n的起始值定】、公比q=2/3的等比数列，收敛

∴级数1/n*sinn兀/2收敛

扩展资料

求收敛级数的方法：

函数级数是形如∑an(x-x0)^n的级数，称之为幂级数。它的结构简单 ，收敛域是一个以为中心的区间（不一定包括端点），并且在一定范围内具有类似多项式的性质，在收敛区间内能进行逐项微分和逐项积分等运算。

例如幂级数∑(2x)^n/x的收敛区间是[-1/2,1/2]，幂级数∑[(x-21)^n]/(n^2)的收敛区间是[1，3]，而幂级数∑(x^n)/(n!)在实数轴上收敛。

如果每一un≥0（或un≤0），则称∑un为正（或负）项级数，正项级数与负项级数统称为同号级数。正项级数收敛的充要条件是其部分和序列Sm 有上界。

例如∑1/n！收敛，因为：Sm=1+1/2!+1/3!+···+1/m!<1+1+1/2+1/22+···+1/2^(m-1)<3(2^3表示2的3次方)。

如果级数的每一项依赖于变量x,x 在某区间I内变化,即un=un(x),x∈I，则∑un(x)称为函数项级数,简称函数级数。

若x=x0使数项级数∑un(x0)收敛，就称x0为收敛点，由收敛点组成的集合称为收敛域，若对每一x∈I，级数∑un(x)都收敛，就称I为收敛区间。

Answer 2

答：条件收敛

Σ(n=1,∞) 1/n*sin(nπ/2)
当n为偶数时都收敛于0，所以只考虑奇数情况
Σ(n=1,∞) 1/n*sin(nπ/2)
= Σ(n=1,∞) 1/(2n+1)*sin[ (2n+1)*π/2 ]
观察sin[ (2n+1)*π/2 ]的变化：
n = 0，1
n = 1，- 1
n = 2，1
n = 3，- 1
...
n = n，(- 1)^n
即Σ(n=1,∞) 1/(2n+1)*sin[ (2n+1)*π/2 ]
= Σ(n=1,∞) (-1)ⁿ/(2n+1)，是个交错级数

由莱布尼兹判别知：
①：通项极限等于0
②：在n趋向∞时，1/(2n+1)单调递减并趋向0
所以级数收敛

考虑绝对值级数Σ(n=1,∞) 1/(2n+1)
当n趋向∞时，通项趋向1/2n，即拿1/n比较
而Σ(n=1,∞) 1/n 为调和级数，是发散的

结合上面两种情况，Σ (-1)ⁿa(n)收敛，Σ a(n)发散
所以Σ(n=1,∞) 1/n*sin(nπ/2)为条件收敛

Answer 3