用辅助函数证明不等式当a>b>0时,3b²(a-b)<a³-b³<3a²(a-b)
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a>b>0，则a-b>0.
故原不等式除以(a-b)，得
3b²<(a³-b³)/(a-b)<3a²
即原不等式等价于
3b²<a²+ab+b²<3a².
事实上，
(a²+ab+b²)-3b²
=a²+ab-2b²
=(a-b)(a+2b)
>0;
(a²+ab+b²)-3a²
=-(a-b)(2a+b)
<0.
故等价式成立，从而原不等式成立!
故原不等式除以(a-b)，得
3b²<(a³-b³)/(a-b)<3a²
即原不等式等价于
3b²<a²+ab+b²<3a².
事实上，
(a²+ab+b²)-3b²
=a²+ab-2b²
=(a-b)(a+2b)
>0;
(a²+ab+b²)-3a²
=-(a-b)(2a+b)
<0.
故等价式成立，从而原不等式成立!
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