Question

三角形数学证明题，过程

Answer 1

郭敦荣回答：

连DH，      假定△GDH为等腰△，∠DGH=60°，条件允许，

用同一法可以证明

△GBD≌△DCH≌△HAG，

∴ BD=CH=AG，            

过F作MN∥BC，分别交AB，AC于M，N，

作HL∥BC交AB于L，作GK∥BC交AC于K，

∵BD=CE，AF=EF，

AM=BM，BL=DD=AG，

∴ GM=LM，（平行线截等线段）

∴ GF=HF。

 

追问

你逻辑错的，假定条件能证明不能代表真的能证明

追答

你还真需要好好学习一下逻辑学；我仍然需要这方面的学习。
我给出的假定并不是不成立，假定△GDH为等腰（边）△，∠DGH=60°，条件允许，是有已知条件为根据的。
下模式：不妨设…，和假定…，假设…等等其意思都是相同的。它们的下一步是在假定的条件下进行证明得出命题所需的结论。若结论为真，则假定的条件为真；若结论为假，则假定的条件为假。
对本题由假定的条件出发进行的证明其结果为真，假定的条件是真的。这个证明是理应被承认的。你不能承认这一证明。说明你对证明的基础性知识尚有欠缺，所以追答的一开始就提出“你还真需要好好学习一下逻辑学”。
这题有需要补充完善处：
（一），在∠DGH=60°的条件下，△GDH为等腰（边）△，命题成立，
在∠DGH=60°的条件下，△GDH不是等腰（边）△时，命题是否成立尚需证明。我估计△GDH不是等边△时，命题不成立（这是一种判断），需用反证法加以证明。
（二）在，△GDH为等边△时，证明△GBD≌△DCH≌△HAG，需写出具体证明步骤。这问题以前证明在百度知道中本人证明过，这里没再写明。

追问

你是真不懂还是假不懂，说白了，题目就是要你证明他是等边三角形，只要证明等边了，那GF=HF也就证明了，你来个假定，那还证什么。问了好多人都说不会， 或者直接说那就是等边三角形，但是也没你这样假定它是的，不过你应该比那些直接说是等边三角形的要强些。

追答

“题目就是要你证明他是等边三角形，”但是原题中并没这样说，原命题（原题中给出的命）与“证明他是等边三角形，”的命题并不等价；“题目就是要你证明他是等边三角形，”这是属于借换概念性质的，是逻辑论证上不允许的。
我在提交原回答时就意识到了而在前面的追答中提及到“这题有需要补充完善处：
（一），在∠DGH=60°的条件下，△GDH为等腰（边）△，命题成立，
在∠DGH=60°的条件下，△GDH不是等腰（边）△时，命题是否成立尚需证明。我估计△GDH不是等边△时，命题不成立（这是一种判断），需用反证法加以证明。
…”
对某种问题，以教育别人的口吻不如以探讨的口吻进行商讨。自然能教育别人，何不先自我教育。
知道张良吗？

追问

“我估计△GDH不是等边△时，命题不成立（这是一种判断），需用反证法加以证明。”
你拿反证法证啊，证明不出来它是不是等边不成立，前面的假设它是等边就没有意义。我说的“题目就是要你证明他是等边三角形，”意思就是这个才是证明题目的关键。

追答

在原回答图中，

若GF=FH，则

△AGF≌△EHF，

∠GAF=∠FEF，EH∥AB，

∴等边△AGK≌△CEH≌△BDL，

AG=BD=CH，

AH=BG=CD，

∠A=∠B=∠C=60°

∴△GBD≌△DCH≌△HAG，

GD=DH=GH，

∴△GDH是等边△。

 

若GF≠FH，不妨设GF＜FH，在FH上截FQ=GF，连EQ，则

△AGF≌△EQF ，EQ∥AB，EQ=AG

过Q作PT∥BC，分别交AB，AC于P，T，

则AG=BP=CT，

延长EQ交AC于R，

作PU∥AC，TV∥AB

则QEVT为平行四边形，TV=QE=AG=BP=BU=CV=CT=AK

等边△AGK≌△CVT≌△BPU，

连GU，GT，UT，

∴GU=GT=UT，

∠UGT=60°，显然∠UGT＞∠DGH，60°＞∠DGH，

这与∠DGH=60°矛盾，

所以，GF≠FH的假设不成立，

∴GF=FH。

从而△GDH是等边△也得到证明。

追问

虽然你写了这么多，但还是不对，白绕了一大圈，关键的还是没证出来，“显然∠UGT＞∠DGH”，说不通，你并没有证明U点在D点的左还是右，你只是画了一个∠DGH小于60度的图，在图上看出U点在D点左边，懂吗？先不说60度了，就你这样画GF＜FH，GT和AE交点就不是F了，它们交点才是AE中点，前面说F是中点，矛盾，也就是说你根本画不出这样一个图形，更不要说以这个图形来证明∠DGH=60矛盾了。

追答

你这么挚着很可贵，也真心希望你能好好思考弄通其中之必然，还是向你详解吧——
用“显然”一词，本身就有需证明的空间，若非很显而易见的如公理那样，是不用“显然”一词直接写出相关判断的。关于这一点有一些著名的数学著作中就提出批评过这种做法，而批评的要害是指这是无法证明的搪塞。此处你指出了尚未证明，甚为可贵；至于其他的就没必要计较了。言归正传——
重复前的论证：
若GF≠FH，不妨设GF＜FH，在FH上截FQ=GF，连EQ，则
△AGF≌△EQF ，
∴EQ=AG（对应边相等），
∠AGF=∠△EQF （对应角相等），
∴EQ∥AB（内错角相等则平行）。

延长EQ交AC于R，则ER∥AB，（ER与EQ同线）
作RL∥BC，交AB于L，连DL，
已知BD=CE，
∴等边△CER≌△BDL。

过Q作PT∥BC，分别交AB，AC于P，T，（这点特重要）
注意，点Q在△AGH的一边GH上，点H在AC上，
EQ在ER上，R在AC上（∵延长EQ交AC于R），
∴ER＞EQ（这点特别特别重要重要）。

作PU∥AC，交BC于U，作TV∥AB交BC于V，
∴QT∥EV，QE∥TV，
∴QEVT为平行四边形，TV=QE=AG=BP=BU=CV=CT=AK，
等边△AGK≌△CVT≌△BPU（三小等边△全等）。
连GU，GT，UT，
∴GU=GT=UT，△GUT为等边△，（此性质前已证过）
∠UGT=60°。

∵已证ER＞EQ（这点特别特别重要重要），EQ=VT=CT，ER=CR
∴CR＞CT，同理，BL＞BP，BD＞BU，点U在点D的左侧；
∵过Q作PT∥BC，分别交AB，AC于P，T，（这点特重要）
点Q在△AGH的一边GH上，点H在AC上，
∴点T在AH上，T在点H之上，CT＞CH。
∠UGT=∠TGH+∠DGH+∠DGU，
∴∠UGT＞∠DGH，
∵已证∠UGT=60°
∴∠DGH＜60°
这与∠DGH=60°矛盾，
所以，GF≠FH的假设不成立，
∴GF=FH。
从而△GDH是等边△也得到证明。
说明：“GT和AE交点就不是F”，是的。G不在GH上。若交点在F上，就不是正常的反证法了。
本反证法的归结点是得出∠DGH≠60°，这与∠DGH=60°矛盾，目的达到了。
其它枝节岐路都是要避免的。
谢谢你的追问，使这次论证的排序更好，也补了“显然”一词，本身所需证明的空间。只是繁琐了点。

追问

你这个证法不算的，你不是对原图证明，而是重新画了一张自己的图，你画的图∠DGH＜60°，GF＜FH，AG＜BD和EC，然后再证明∠DGH＜60°，你证明的不是题目给出的图有什么用？如果在原图上做平行线那么点U在点D的右侧。如果你能直接对原图证明那才算，况且考试的时候老师也不会看你自己画出来的和原图不一样的图的证明。

追答

郭敦荣在其《浅论反证法——活的泛性公理》一文中指出——
在数学基础和数学证明中，数学家们的意见尚未统一，存在着不同的学派,（直觉主义学派，逻辑主义学派，形式主义学派等三大学派）特别是在19世纪和20世纪前期．

在19世纪直觉主义者曾反对逻辑主义的反证法，但他们的继承者又在运用这一方法。好在你并没反对反证法，只是在对反证法运用上的认识上尚有待提高。
在反证法的运用上总是存在某些问题的，以假设为条件做发点进行论证，必须就此论证下去；不能说这假设的条件是错误的与图形不符呀，不能这样论证，若如此，这与反对运用反证法何异？

若GF≠FH，不妨设GF＜FH，在FH上截FQ=GF，连EQ，则

过Q作PT∥BC，分别交AB，AC于P，T，（这点特重要）
∴EQ∥AB，EQ=BP，延长EQ交AH于R，
∴△REC为等边△，ER=CE=CR，ER＞EQ，
∴CE＞EQ。
依你新追问给出的图形U在D的右侧出发进行反证法的证明——
∵U在D的右侧（∵作PU∥AC，交BC于U，为条件）
∴BU＞BD，
∵己知BD=CE，已证CE＞EQ
∴BD＞EQ。
∵已证EQ=BP，
∴BD＞BP；
∵作PU∥AC，交BC于U，
∴△BUP为等边△，BP=BU，
∴BD＞BU，
这与前面得到的BU＞BD矛盾，
所以，GF≠FH的假设不成立，
∴GF=FH。
从而△GDH是等边△也得到证明。

追问

你不觉得直接在原图上证明点U和D的位置比之前你画那么复杂的图证明60度简单得多吗？另外你能不能不用反证法证出来？所有几何证明题都可以先假设不对，再从中找出矛盾，但这并不是每题大家都用的方法，这只是从正面很难证才用的方法。如果可以，我想正面的证明会更漂亮，更精彩，更有说服力，对于这个简单的数学题你会不会从正面证？

追答

你才是位14岁的中学生，能如此勤于思考，真是难能可贵，这比有的接受错误回答的（学生）不知要强多少倍。祝你不断上进，学有所成，事有所成。
直接证明法最好，不能直接证明的才用间接证明法。此题找不到直接证明法。

追问

老师都告诉我两种直接证明的方法了，你还说“此题找不到直接证明法”，也许你说“此题我找不到直接证明法”，加个“我”字会显得更谦虚。老前辈，别倚老卖老，也许你多看过几本书，看过一些什么理论，但在把这些理论运用到实际中你真比不上年轻人。生活中，数学重在应用，同理，学术研究中，要学会用数学思想把多种理论巧妙地结合起来，灵活地运用它们，那样才能解决一些单一理论解决不了的难题，最后祝你早日证明哥德巴赫猜想。

追答

后生可畏。
倒推法也属于直接证明法，前已给出了基本步骤，再加最后明确说明就行了。
同一法亦可证明本题，但同一法并不属于直接证明法。
希望你能对我的《哥德巴赫猜想证明》和《哥德巴赫猜想证明要点》提出反驳意见。

后生可畏。
倒推法也属于直接证明法，前已给出了基本步骤，再加最后明确说明就行了。
同一法亦可证明本题，但同一法并不属于直接证明法。
希望你能对我的《哥德巴赫猜想证明》和《哥德巴赫猜想证明要点》提出反驳意见。

Answer 2

Answer 3

连接FD和DH你就会了

追答

构成等边三角形

追问

具体点，不会

追答

等下

我去写过程

追问

等你，过程看懂了就立即就采纳你

追答

挺难，也许要点时间

追问

-_-!要是那么简单我就不悬赏255分了

追答

呵呵

就我在答吗

追问

可能大家都不会吧

追答

会了我就马上发，你先写别的

这是几年级哪一章的作业？

抱歉了，真的不会

追问

中考模拟卷

追答

但好像可以连he

你试试吧

或者看下答案

有答案吗