Question

一道高数题，求解释。。在线等

f(x)在【a,b】二阶可导，f’(a)=f’(b)=0，证明存在c∈（a，b）使得
｜f’’（c）｜≥4/（b－a）2｜f（a）－f（b）｜

上面那个（b-a)2 的2是平方。。我不会打，还有看不懂得再问我。

Answer 1

想过程请见下图

Answer 2

由泰勒公式
f(a+b/2)=f(a)+f'(a)*(b-a)/2+f''(c1)*(b-a)^2/8(^是平方的意思,c1属于[a，a+b/2]）
由于f'(a)=0,所以
f(a+b/2)=f(a)+f''(c1)*(b-a)^2/8; ---A
同理再由泰勒公式
f(a+b/2)=f(b)+f''(c2)*(b-a)^2/8； （c2属于[a+b/2,b]) -----B
然后A式-B式得
0=f(a)-f(b)+[(b-a)^2/8]*[f''(c1)-f''(c2)]
得出
[f''(c1)-f''(c2)]/2=[f(b)-f(a)]*4/(b-a)^2
两边加绝对值
于是左边<=[|f''(c1)|+|f''(c2)|]/2
又因为f(x)二阶可导，所以f''(x)连续
所以|f''(x)|在【a,b】上有最大最小值，即有界的
所以必存在一个c属于【c1，c2】，使f''(c)=[|f''(c1)|+|f''(c2)|]/2
于是就得出存在c使｜f''（c)｜≥4/（b－a)^2｜f（a）－f（b）｜

搞定！其实主要就是后面那个绝对值得看出来，呵呵