Question

罗尔定理题目

Answer 1

证：
F(0)=0³·f(0)=0，F(1)=1³·f(1)=0
由罗尔中值定理得：在(0，1)内至少有一点ξ1，使得
F'(ξ1)=[F(1)-F(0)]/(1-0)=0
F'(x)=3x²f(x)+x³·f'(x)
F'(0)=3·0²·f(0)+0³·f'(0)=0
由罗尔中值定理得：在(0，ξ1)内至少有一点ξ2，使得
F''(ξ2)=[F'(ξ1)-F'(0)]/(ξ1-0)=0
F''(x)=6xf(x)+3x²f'(x)+3x²f'(x)+x³·f''(x)
F''(0)=6·0·f(x)+3·0²·f'(x)+3·0²·f'(x)+0³·f''(x)=0
由罗尔中值定理得：在(0，ξ2)内至少有一点ξ，使得
F'''(ξ)=[F''(ξ2)-F''(0)]/(ξ2-0)=0
(0，ξ2)⊂(0，1)
即：在(0，1)内至少有一点ξ，使F'''(ξ)=0