Question

高二圆锥曲线的题 急！！！

从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线,垂足为N,则QN的中点轨迹方程为______.
要详细解答过程

Answer 1

设Q(m,n),N(u,v), QN的中点为P(a,b).
直线QN的斜率为1，
其方程为y-b=x-a, 与x+y=2联立解得点N坐标：
U=(a-b+2)/2,v=(2-a+b)/2.……①
因为点P是QN的中点，所以有：2a=m+u,2b=n+v.
将①式代入得：m=(3a+b-2)/2,n=(a+3b-2)/2.
∵点Q(m,n)在双曲线x²-y²=1上，
∴m²-n²=1
即(3a+b-2) ²/4-(a+3b-2) ²/4=1.
2a²-2b²-2a+2b-1=0.
所以QN的中点轨迹方程为2x²-2y²-2x+2y-1=0.