Question

设四阶矩阵A =（a1,a2,a3,a4）有|A |=2，令B=（a3,a2,a4,a1）,C =A +B ,求|C |

Answer 1

C=A+B
=（a1+a3,2a2,a3+a4,a4+a1）
则|C|
=|（a1+a3,2a2,a3+a4,a4+a1）|
提取第2列公因子2
=2|（a1+a3,a2,a3+a4,a4+a1）|
拆开第1列，变成2个行列式之和
=2(|（a1,a2,a3+a4,a4+a1）|+|（a3,a2,a3+a4,a4+a1）|)
第1个行列式，第4列减去第1列
第2个行列式，第3列减去第1列
=2(|（a1,a2,a3+a4,a4）|+|（a3,a2,a4,a4+a1）|)

第1个行列式，第3列减去第4列
第2个行列式，第4列减去第3列
=2(|（a1,a2,a3,a4）|+|（a3,a2,a4,a1）|)
第2个行列式，第1、4列对调，然后第3、4列对调
=2(|（a1,a2,a3,a4）|+|（a1,a2,a3,a4）|)
=2（|A|+|A|）
=2（2+2）
=8

Answer 2

显然|A+B|=
|a1+a3,2a2,a3+a4,a4+a1| c1-c3,c1+c4
=|2a1,2a2,a3+a4,a4+a1| c1和c2提取出2
=4 |a1,a2,a3+a4,a4+a1| c4-c1,c3-c4
=4 |a1,a2,a3,a4|=4 |A|
故得到|C|=4|A|=4×2=8