Question

求函数y=sinx+cosx+sinxcosx的值域

Answer 1

解：
y=sinx+cosx+sinxcosx
=½sin2x+√2sin(x+π/4)
=-½cos(2x+π/2)-√2sin(x+π/4)
=-½[1-2sin²(x+π/4)]-√2sin(x+π/4)
=sin²(x+π/4)-√2sin(x+π/4)-½
=[sin(x+π/4) -√2/2]²-1
sin(x+π/4)=√2/2时，y取得最小值，ymin=-1
sin(x+π/4)=-1时，y取得最大值，ymax=½+√2
函数的值域为[-1，½+√2]

Answer 2

y=sinx+cosx+sinxcosx
令sinx+cosx=T,(1)
由同角
三角函数关系
sinxcosx=[（sinx+cosx)^2-(sinx^2+cosx^2)]/2
把(1)式代入,得sinxcosx=（T^2-1)/2
所以y=T+（T^2-1)/2
整理得,y=1/2（T+1）^2-1
而sinx+cosx=√2sin(x+π/4)∈[-√2,√2]
所以y在T[∈-√2,√2]时,不单调
当T=-1时,y取得最小值
=
-1
当T=√2时,y取得最大值
=
1/2+√2
值域
[-1,1/2+√2
]

Answer 3

(sinx+cosx)^2＝1＋2sinxcosx，所以sinxcosx＝1/2×(sinx+cosx)^2－1/2，所以
y＝1+sinx+cosx+sinxcosx＝1/2×(sinx+cosx)^2＋(sinx+cosx)＋1/2＝1/2×(1+sinx+cosx)^2
－√2≤sinx＋cosx≤√2，所以1－√2≤1+sinx+cosx≤1＋√2，所以0≤y≤1/2×(1+1+√2)^2≤3＋2√2
所以，函数y=1+sinx+cosx+sinxcosx的值域是[0，3＋2√2]