Question

求解该伯努利方程dy/dx-y=x²/y

Answer 1

求解该伯努利方程dy/dx-y=x²/y
解：两边同乘以y得 ydy/dx-y²=x²;
先求ydy/dx-y²=0的通解：∵y≠0，故可用y除方程两边得：dy/dx-y=0;
分离变量得 dy/y=dx；积分之得lny=x+lnc₁；故y=c₁e^x;
将c₁换成x的函数u，得y=ue^x.............①
对①取导数得：dy/dx=(e^x)(du/dx)+ue^x.............②
将①②代入原式得：(e^x)(du/dx)+ue^x-ue^x=x²/(ue^x)
化简得 (e^x)(du/dx)=x²/(ue^x) ;
分离变量得 udu=x²e^(-2x)dx;
积分之得 (1/2)u²=∫x²e^(-2x)dx【过程太长，故省略】
=-(1/2)[x²+x+(1/2)]e^(-2x)+(1/2)c
故u²=-[x²+x+(1/2)]e^(-2x)+c=[ce^(2x)-x²-x-1/2]/e^(2x)
∴ u=±e^(-x)√[ce^(2x)-x²-x-1/2] 代入①式即得原方程的通解为：
y=±√[ce^(2x)-x²-x-1/2].