Question

一道高一数学题（对数），半小时内求详解，谢谢，完整加分

如果（lgx+lgy）/lgx+(lgx+lgy)/lgy+[lg(x-y)²]/lgx×lgy=0,求x,y及log2(xy)的值
备注：“/”符号前表示分子，后表示分母
看起来是复杂了些，不过，请会的人帮帮忙，会加分的
难道就没有人会吗。。。

Answer 1

先看变形：
(lgx+lgy)/lgx + (lgx+lgy)/lgy + lg(x-y)²/(lgxlgy)
=通分[(lgx)²+(lgy)²+2(lgxlgy)+lg(x-y)²]/(lgxlgy)
=合并三项[(lgx+lgy)²+lg(x-y)²]/(lgxlgy)
=[(lgxy)²+lg(x-y)²]/(lgxlgy)=0
这时要考虑对数函数的定义域为(0,+∞)，即：
x>0,y>0
变形后的等式，左边应为0，而分母不能为0，故只有分子为0。而分子的两项都是平方式：(lgxy)²和lg(x-y)²，平方式都大于等于0。故必然有：
(lgxy)²=0
且
lg(x-y)²=0
那么根据对数函数性质：
xy=1
(x-y)²=1
即求方程组
xy=1
x-y=1
或者方程组
xy=1
x-y=-1
的解即可。
这个过程我就不写了。解的时候注意x、y都取大于0的值。解出的结果是x和y分别是(1+√5)/2和(-1+√5)/2（在两种情况的方程组下x、y的解值正好交换）。如果没记错的话小的那个是黄金分割数。
log2(xy)，如果我没猜错的话2是底数吧。根据对数函数计算规则：
log2(xy)
=lg(xy)/lg2
=lg1/lg2
=0/lg2
=0

ps：很久没答题了。祝你学习进步！

Answer 2

题目是不是有问题啊