Question

f(x)=ax^2+bx+c,x2>x1,f(x1)≠f(x2),求证f(x)=1/2[f(x1)+f(x2)]方程有一实根在

(x1,x2)内

Answer 1

设 ： g（x）= f(x)-[f(x1)+f(x2)]/2
则 ： g（x1）= f(x1)-[f(x1)+f(x2)]/2=[f(x1)-f(x2)]/2
g（x2）= f(x2)-[f(x1)+f(x2)]/2=[f(x2)-f(x1)]/2
∵ f(x1)≠f(x2)
∴g(x1)g(x2)=-[f(x1)-f(x2)]^2/4＜0
∴ 函数 g（x）= f(x)-[f(x1)+f(x2)]/2必有一零点在区间(x1,x2)内
也就是 f(x)=1/2[f(x1)+f(x2)]方程有一实根在(x1,x2)内