Question

若直线y=-x+m与椭圆:x^2/4+y^2/3=1交于A,B两点,若以AB为直径的圆经过原点,试求m的值。

请用解析几何的方法求，而不是向量。如果有帮助，我先加1000悬赏再采纳。多谢！

Answer 1

解：将y=-x+m代入椭圆方程(1/4)x^2+(1/3)y^2=1，经整理有，7x^2-8mx+4(m^2-3)=0①。∴其判别式△=64m^2-112(m^2-3)=48(7-m^2)>0②，∴丨m丨<√7。
对方程①，由韦达定理，有x1+x2=8m/7，x1x2=4(m^2-3)/7。∴由弦长公式，有丨AB丨=(√2)丨x1-x2丨=[(4√6)/7]√(7-m^2)。
而AB的中点C坐标x=(x1+x2)/2=4m/7，y=-x+m=3m/7，又根据题设条件，有丨OC丨=丨AB丨/2。∴丨5m/7丨=[2(√6)/7]√(7-m^2)。∴m^2=6，m=±2√(6/7)，且满足①的条件，
∴m=±2√(6/7)。供参考。