Question

初三数学23题

Answer 1

（1）
∵AG＝AH，∴∠AGH＝∠AHG，∴∠BGE＝∠DHF，又∠BEG＝∠DFH＝90°，
∴∠CBD＝∠CDB。······①
∵ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠ABD＝∠CDB。······②
∵ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD。······③
由①②③，得：∠ABD＝∠CBD、∠ADB＝∠CDB。
∵ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC，而∠ABD＝∠CBD、∠ADB＝∠CDB，
∴BD平分平行四边形ABCD的一组对角，∴平行四边形ABCD是菱形。
（2）
∵∠ABE＝∠ADF、∠AEB＝∠AFD＝90°，∴∠BAE＝∠DAP。
∵AD∥BP，∴∠DAP＝∠APB，∴∠BAE＝∠APB，
∴AB切△APE的外接圆于A，∴由切割线定理，有：AB^2＝BE·BP。
∵ABCD是菱形，∴AB＝BC，∴BC^2＝BE·BP。
∵ABCD是菱形，∴AB＝AD，又∠BAE＝∠DAF、∠ABE＝∠ADF，∴△ABE≌△ADF，
∴BE＝DF，结合证得的BC^2＝BE·BP，得：BC^2＝DF·BP。