Question

已知f(x)是定义在R+上的增函数，且f(x/y)=f(x)-f(y)

(1)求证f(xy)=f(x)+f(y)
(2)若f(2)=1，解不等式f(x)-f(1/(x-3))小于等于2

Answer 1

(1)令x=y=1,则f(1)=f(1)-f(1)=0
令x=1,则且f(1/y)=f(1)-f(y)=-f(y) =>f(1/y)=-f(y)
则f(xy)=f(x/(1/y))=f(x)-f(1/y)=f(x)+f(y)
证毕。 #
(2)∵f(2)=1
由(1)知：f(4)=f(2)+f(2)=2
由f(x)-f(1/(x-3))≤2
=>f(x*(x-3))≤f(4)
∵f(x)是定义在R+上的增函数
∴x*(x-3)≤4 ----①
x>0 ----②
1/(x-3)>0 ----③
①②③联立解得： 3<x≤4
故 不等式f(x)-f(1/(x-3))≤2的解集为 (3,4]

Answer 2

(1)证明：由f(x/y)=f(x)-f(y)
得 f(x)=f(x/y)+f(y) (*)
令x=ab,y=b 代入(*)
f(ab)=f(ab/b)+f(b)=f(a)+f(b) (**)
再令 a=x,b=y 代入(**)
∴ f(xy)=f(x)+f(y)
(2)f(x)-f(1/(x-3))=f[x(x-3)]≤2
因为 f(2)=1,∴f(2·2)=f(2)+f(2)=2
由于f(x)的单调性，可得
x(x-3)≤4
解得 x≤-1（舍去），x≥4
即不等式的解为x≥4

Answer 3

(1)当x=y=1时，f（1/1)=f(1)-f(1)=0 f(1)=0
令x=1，有f（1/y)=f(1)-f(y)=-f(y)
f(xy)=f[x/(1/y)]=f(x)-f(1/y)=f(x)+f(y)
(2)f(x)-f(1/(x-3))≤2 x＞0，x-3＞0，x＞3
f[x/(1/x-3)]≤1+1=f(2)+f(2)=f(2*2)=f(4),
因为f(x)是定义在R+上的增函数，所以x（x-3）≤4
解得：-1≤x≤4，又因为定义域是R+，所以3＜x≤4