Question

已知函数f(x)=ln(x-1)-k(x-1)+1

已知函数f(x)=ln(x-1)-k(x-1)+1
（1）求函数的单调区间
(2)若f(x)≤0恒成立，求实数k的取值范围
（3）证明(ln2)/3+(ln3)/4+(ln4)/5+…+（lnn)/n+1＜n（n-1）/4（n∈N+且n＞1）

Answer 1

(1)f’ (x)=1/(x-1) -k (x>1)
当k≤0时，f'(x)>0,f(x)在(1,+∞)单调递增
即f'(x)的增区间为(1,+∞) 无减区间
当k<0时，令f'(x)=0得x=1+1/k

x (1,1+1/k) 1+1/k (1+1/k,+∞)
f’(x) + 0 －
f(x) 增 极大值 减

所以f'(x)的增区间为(1,1+1/k) 减区间为(1+1/k,+∞)
（2）当k≤0时,在[2,+∞)上有f(x)>0,不满足题意
当k>0时，由（1）知，f(x)有极大值也是最大值f(1+1/k)=ln(1/k)
∵f(x)≤0恒成立
∴只需f(x)的最大值ln(1/k)≤0 解得k≥1
综上，k∈[1,+∞)
(3)取k=1,由（2）知f(x)=ln(x-1)-x+2≤0恒成立
ln(x-1)≤x-2 ln(x-1) /x ≤(x-2)/x
令x=n+1,则（lnn）/(n+1)≤(n-1)/(n+1)＜(n-1)/2
∴ (ln2)/3+(ln3)/4+(ln4)/5+…+（lnn)/n+1
＜1/2+2/2+3/2+…+(n-1)/2
=1/2[1+2+3+…+(n-1)]
=n(n-1)/4
原命题得证。