Question

已知函数f(x)={1+ln(x+1)}/x(x＞0)

已知函数f(x)={1+ln(x+1)}/x(x＞0)
求证：（1+1·2）（1+2·3）（1+3·4）···（1+n(n+1)）>e^(2n-3) (n∈N*）

（详细解答）

Answer 1

你好！

这道题前面还有两问
第一问证明 f(x)是减函数
第二问当x>0时,f(x)>k/(x+1)恒成立,求正整数k的最大值，答案是3

第三题就是你的题目，直接用第二题的结论
[ +ln(1+x)]/x > 3/(x+1)
即 1 + ln(1+x) > 3x/(x+1)
ln(1+x) > 3x/(x+1) - 1 = (2x-1)/(x+1) = 2 - 3/(x+1) > 2 - 3/x

ln (1+1*2) > 2 - 3/(1*2) = 2 - 3*(1 - 1/2)
ln(1+2*3) > 2 - 3/(2*3) = 2 - 3*(1/2 - 1/3)
……
ln(1+n*(n+1)) > 2 - 3/(n*(n+1)) = 2 - 3*[1/n - 1/(n+1)]
各式相加
ln [ （1+1·2）（1+2·3）（1+3·4）···（1+n(n+1)）] > 2n - 3*[ 1 - 1/(n+1)] > 2n-3
即 （1+1·2）（1+2·3）（1+3·4）···（1+n(n+1)）> e^(2n-3)

Answer 2

没别的条件?