Question

利用拉格朗日中值定理证明不等式1/1+x<ln(1+1/x)<1/x,(x>0)

Answer 1

做辅助函数F(t)=ln(1+t),则F在[0,x]上连续且可导.由拉格朗日中值定理得
F(x)-F(0)=F'(α)(x-0)（0<α<x）,
即有ln(1+x)=x/(1+α).
由于0<α<x,
故1/(1+x)<1/(1+α)<1,
从而x/(1+x)<ln(1+x)<x
令x=1/x即得1/1+x<ln(1+1/x)<1/x

Answer 2

令F（t）=lnt (t>0) 由拉格朗日中值定理得，
ln（1+t）-ln（t）/1+t-t=F'(x)
ln（1+t）-ln（t）=ln(1+1/t)=1/x (t<x<1+t) 所以
1/1+t<1/x<1/t → 1/1+t<ln(1+1/t)<1/t → 1/1+x<ln(1+1/x)<1/x，（x>0）