用拉格朗日中值定理证明:当x>0时,ln(1+x)-lnx>1/1+x
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证明：
令f(x)=lnx
由拉格朗日中值定理，存在一点ξ∈(x,x+1)使得
f'(ξ)=[f(x+1)-f(x)]/(x+1-x)=f(x+1)-f(x)
=ln'(ξ+1)=1/(ξ+1)
由于函数1/x在x>0时为减函数，且1+ξ<1+x
故1/(1+ξ)>1/(1+x)
原命题得证
令f(x)=lnx
由拉格朗日中值定理，存在一点ξ∈(x,x+1)使得
f'(ξ)=[f(x+1)-f(x)]/(x+1-x)=f(x+1)-f(x)
=ln'(ξ+1)=1/(ξ+1)
由于函数1/x在x>0时为减函数，且1+ξ<1+x
故1/(1+ξ)>1/(1+x)
原命题得证
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