用拉格朗日中值定理证明x/1+x小于IN(1+X)小于X
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做辅助函数F(t)=ln(1+t),则F在[0,x]上连续且可导.由拉格朗日中值定理得
F(x)-F(0)=F'(α)(x-0)（0<α<x）,
即有ln(1+x)=x/(1+α).
由于0<α<x,
故1/(1+x)<1/(1+α)<1,
从而x/(1+x)<ln(1+x)<x
证毕
F(x)-F(0)=F'(α)(x-0)（0<α<x）,
即有ln(1+x)=x/(1+α).
由于0<α<x,
故1/(1+x)<1/(1+α)<1,
从而x/(1+x)<ln(1+x)<x
证毕
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追问
老师说必须设F(X)=INx。。。。何解？
追答
你用我的答案扇他一耳光吧
他这么解得：
做辅助函数F(t)=lnt,则F在[1,x+1]上连续且可导.由拉格朗日中值定理得
F(x+1)-F(1)=F'(1+α)(x+1-1)（0<α<x）,
即有ln(1+x)=x/(1+α).
由于0<α<x,
故1/(1+x)<1/(1+α)<1,
从而x/(1+x)<ln(1+x)<x
证毕
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