Question

初二几何题，

如图①，△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD=CD，∠BDC=120°，以D为顶点，做一个60°的角，角两边分别交AB、AD于M、N，连接M、N。
（1）探究BM、MN、BC之间的关系。
（2）若△ABC边为2，求△AMN的周长。
（3）若点M、N分别是AB、CA延长线上的点，其他条件不变，在②中画出图形，说出BM、MN、NC之间的关系。

Answer 1

首先，你题目中“角两边分别交AB、AD于M、N，”与图不符，应更正为“角两边分别交AB、AC于M、N”。

（1）延长AC至M1，使CM1＝BM，连结DM1  

由已知条件知：∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝∠DCB＝30°

∴∠ABD＝∠ACD＝90°                      

∵BD＝CD 

∴Rt△BDM≌Rt△CDM1  

∴∠MDB＝∠M1DC  DM＝DM1            

∴∠MDM1＝（120°－∠MDB）＋∠M1DC＝120°  

又∵∠MDN＝60

∴∠M1DN＝∠MDN＝60

∴△MDN≌△M1DN 

∴MN＝NM1＝NC＋CM1＝NC＋MB

（2）△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+MB=AB+AC=2+2=4

（3）在CN上截取，使CM1＝BM，连结DM1 

∵∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝∠DCB＝30°

∴∠DBM＝∠DCM1＝90°

∵BD＝CD

∴Rt△BDM≌Rt△CDM1

∴∠MDB＝∠M1DC DM＝DM1 

∵∠BDM＋∠BDN＝60°

∴∠CDM1＋∠BDN＝60°

∴∠NDM1＝∠BDC－（∠M1DC＋∠BDN）＝120°－60°＝60°

∴∠M1DN＝∠MDN 

∵AD＝AD

∴△MDN≌△M1DN   

 ∴MN＝NM1＝NC－CM1＝NC－MB