Question

高中数学数列问题～超级简单爱好数学的答友进

在数列｛an｝（n为写在a右下角的小n，1等同理）中，a1=1，a n+1=2an+2^n
（Ⅰ）设bn=an/2^n-1证明：数列(bn)是等差数列
（Ⅱ）求数列｛an｝的前n项和Sn

注意：解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤 tthugs贴吧吧主感谢每位答题人

Answer 1

解：(1)∵a[n+1]=2a[n]+2^n,n∈N+
∴两边同除以2^n，得：
a[n+1]/2^n-a[n]/2^(n-1)=1
∵a[1]=1
bn=an/2^(n-1)
故b(n+1)-bn=1
∴{bn}是首项为a[1]/2^0=1，公差也为1的等差数列
即：a[n]/2^(n-1)=1+(n-1)=n
∴数列{an}的通项公式是：a[n]=n2^(n-1)

(2)∵S[n]=1*2^0+2*2^1+3*2^2+...+n2^(n-1)
∴2S[n]=1*2^1+2*2^2+3*2^3+...+n2^(n)
将上面两式相减，得：
-S[n]=[2^0+2^1+2^2+2^3+...+2^(n-1)]-n2^n
=1*(2^n-1)/(2-1)-n2^n
=2^n-1-n2^n
=(1-n)*2^n-1
∴数列{a[n]}的前n项和S[n]=(1-n)2^n-1