Question

求数学帝

双曲线x的平方减y的平方等于a（a＞0）的两个焦点分别为F1，F2，P为双曲线上任意一点，求证|PF1|、|PO|、|PF2|是等比数列（O为圆点）
已知F是双曲线4分之x平方减12分之y平方等于1的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为
过点M(3,-1)且被点M平分的双曲线4分之x的平方减y的平方等于1的弦所在直线方程为

全忘公式，数学帝帮帮忙，我弟在考试 在线等 证明题追加20

Answer 1

⑴证明：
设p坐标为（x，y）
根据焦半径公式，PF1的长度为√a+ex，PF2长度为ex-√a，PO²=x²+y²，
那么PF1·PF2=2x²-a,
而PO²=x²+y²=x²+（x²-a）=2x²-a
∴PF1·PF2=PO²
∴PF1，PO，PF2成等比数列
⑵设双曲线的右焦点为F2（4，0）
∴PF-PF2=2a=4（P点在双曲线的右支上）
∴|PF|+|PA|=PF2+4+PA=4+（PA+PF2)
画出草图可以看到，PA+PF2＞AF2（△两边和＞第三边）
当且仅当P，A，F2三点在同一直线上的时候PA+PF2=AF2
此时PA+PF2=AF2=5，即PA+PF2≥5
∴|PF|+|PA|最小值为9
⑶ 设直线与双曲线的两个交点为A（x1,y1)和B(x2,y2)
则x²1/4-y²1=1
x²2/4-y²2=1
两式相减，(x²1-x²2)/4-(y²1-y²2）=0
∴（x1-x2）·(x1+x2)/4-(y1-y2)·(y1+y2)=0
∵M是AB的中点，∴x1+x2=6,y1+y2=-2
∴(y1-y2)/(x1-x2)=-3/4
这正好是直线的斜率
是直线方程为y-(-1)=(-3/4)·（x-3）
化简为y=-3x/4+5/4

Answer 2

证明:设P为(X,Y)
因为P在双曲线上 所以Y的平方=X的平方-a E=根号2
/PO/的平方=X的平方+Y的平方=X的平方+X的平方-a=2X的平方-a
因为 |PF2|=EX+ 根号 a |PF1|=EX-根号a
所以 |PF1|*|PF2|=(EX+ 根号 a)( EX-根号a)=(EX)的平方-a=2X的平方-a
所以/PO/的平方=|PF1|*|PF2|
所以/PF1|、|PO|、|PF2|是等比数列

2 Y=-4分之3X +5/4

Answer 3

第一问证明思路是，根据双曲线的第二定义，把点P到焦点的距离转化到相应准线的距离，因为双曲线的方程已知，设P点左边为（x，y），则PO距离表达为根号下x方加y方，根据已知把准线方程写出来，转化的PF1，PF2都可以表达出来，再由等比数列的性质，po平方等于PF1、PF2相乘，带入整理即得证
第二问换个思路，从双曲线第一定义出发，把PF转化到点P到右焦点的距离，设右焦点为B，所以PF=4+PB，|PF|+|PA|的最小值也就转化到了A到B点距离最小值，最小值就是点A到右焦点距离再加4
第三问，设直线与双曲线交点坐标分别为（x1,y1)、(x2,y2)，代入双曲线方程，两式相减后移项，即得到关于斜率k的表达式,再就可以求出k值了。直线方程也就写出来了（此法亦叫做设而不求）
结果我没有计算，不过思路和过程我觉得我说的已经很详细了，我也自己动手做了，没有问题的，如果有疑问继续说！