Question

已知数列{an}满足首项为a1=2,an+1=2an,(n∈N*).设bn=3log2an-2(n∈N*),数列{cn}满足cn=anbn.

已知数列{an}满足首项为a1=2,an+1=2an,(n∈N*).设bn=3log2an-2(n∈N*),数列{cn}满足cn=anbn.

(1) 求证:数列{ b n}成等差数列;

(2) 求数列{ c n}的前 n项和 S n .

Answer 1

( 1) 由已知可得, an=a₁qⁿˉ¹=2ⁿ 2分
∴bn=3log₂2 ⁿ n-2 3分
∴bn=3n-2,∵bn+1-bn=3 4分
∴{bn}为等差数列,其中b1=1,d=3 5分
(2) cn=anbn=(3n-2)·2ⁿ 6分
Sn=1·2+4·2²+7·2³+…+(3n-2)·2ⁿ 　① 7分
2Sn=1·2²+4·2³+7·2⁴+…+(3n-5)·2ⁿ+(3n-2)·2ⁿ⁺¹ ② 8分
①-②得
-Sn=2+3[22+23+24+…+2n]-(3n-2)·2ⁿ⁺¹ 9分
=2+3·4(1-2n-1)/(1-2)-(3n-2)·2ⁿ⁺¹ 10分
=-10+(5-3n)·2ⁿ⁺¹ 11分
∴Sn=(3n-5)·2+10 12分
⁰⁵⁶⁷⁸⁹⁼⁽⁾ª˙ˊ₊₋₌₍₎º⁻ɩɪɴʟʹ͵⃗¡₀₀₃₄₅₆₇₈₉