Question

验证拉格朗日中值定理对函数f（x）=x^3+2x在[0,1]上的正确性怎么做？

Answer 1

1、拉格朗日中值定理是：
如果函数满足：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；
那么在开区间(a,b)内至少有一点ξ,a<ξ<b,使等式f(b)-f(a)=f'(ξ)(f(b)-f(a))成立。
2、具体证明如下：
f(0)=0，f(1)=3，f在[0,1]上连续。
f '(x)=3x^2+2，f在(0,1)内可导。
f '(ξ)=[f(1)-f(0)]/(1-0)
∴ 3ξ^2+2=3
解得，有一个
ξ=1/√3∈(0，1)
所以拉格朗日中值定理对函数f（x）=x^3+2x在[0,1]上成立。

Answer 2

f(0)=0,f(1)=3.
设a(0,0),b(1,3).
则ab的斜率为3.
f'(x)=3x^2+2
解方程3x^2+2=3得x=(根号3)/3.(负根舍去）
(根号3)/3即为所求。