Question

Lim n-∞ n/根号下((n^2)+1)求极限，需要步骤

我如此求：n/((n^2)+1)^(1/2)-1+1)=n/((1/2)n^2)=洛必达=1/n,为何不对

Answer 1

不对的原因是，洛必达法则是后验逻辑。用了之后，极限存在，那就存在；不存在，只能说明洛必达法则失效。洛必达求出来1/n显然失效。

Answer 2

√(n²+1)肯定不等价n²/2吗？
无穷大倒数为零，
直接分子分母同除以n就得出极限了。

追问

（1+x）^a-1不是等价ax么，我这里是（(n^2)+1）^(1/2)=（(n^2)+1）^(1/2)-1+1=1/2(n^2)+1为何不对，答案是1，我实在太笨了，给我说明把=(

追答

…看清楚等价时x趋于多少，前者是x趋于零，这里n趋于无穷大。

套用代换先满足条件

Answer 3

设t=1/n。因为n->∞，所以t->0.
因为f(n)=n/√(n^2+1)；所以f(t)=1/√(1+t^2);
so lim(n->∞) n/√(n^2+1)等价于 lim(n->0) 1/√(1+n^2).
n=0带入得
原式=1/1=1.