Question

求极限的问题？

请问画红线的那一步是怎么得来的。求指教

Answer 1

应用的是等价无穷小量替换求解【但结果应是“e^(1/3)”非“1/3”】。详细过程是，∵x→0时，cos2x+2xsinx→1，∴cos2x+2xsinx-1→0。
又，x→0时，ln(1+x)~x。∴ln(cos2x+2xsinx)=ln[1+(cos2x+2xsinx-1)]~(cos2x+2xsinx-1)。
∴原式=e^[lim(x→0)(1/x^4)ln(cos2x+2xsinx)]=e^[lim(x→0)(cos2x+2xsinx-1)/x^4]=…=e^(1/3)。

供参考。

Answer 2

x->0

cos2x = 1-(1/2)(2x)^2 +(1/24)(2x)^4 +o(x^4) = 1-2x^2 + (2/3)x^4 +o(x^4)

sinx = x -(1/6)x^3+o(x^3)

2xsinx = 2x^2 -(1/3)x^4+o(x^4)

cos2x+2xsinx = 1+(1/3)x^4 +o(x^4)

lim(x->0)  [cos2x+2xsinx]^(1/x^4)

=lim(x->0)  (1+ (1/3)x^4)^(1/x^4)

=e^(1/3)