Question

高数题 微分中值定理

如图

Answer 1

如图所示，先用介值定理，再用罗尔定理

如图所示，先用介值定理，再用罗尔定理

Answer 2

首先，因为f(0)+f(1)+f(2)=3，则f(0),f(1),f(2)要么全为1，要么至少存在一个大于1，一个小于1。
若f(0)=f(1)=f(2)=1=f(3)，根据微分中值定理，分别存在一点ξ1，ξ2，ξ3分别属于(0,1)(1,2)(2,3)使得 f'(ξ1)=f'(ξ2)=f'(ξ3)=0.
若三者不等，则必然存在a∈(0,3), b∈(0,3)，使得f(a)>1, f(b)<1, 根据罗尔中值定理，从而必然存在c属于(a,b)或(b,a)，使得f(c)=1=f(3),根据微分中值定理，存在ξ∈(c,3)，使得f'(ξ)=0

综上，至少存在一点ξ∈(0,3)，使得f'(ξ)=0

Answer 3

f在[0,2]上的最大值至少是1, 最小值至多是1, 所以一定存在一点t使得f(t)=1, 然后在[t,3]上用Rolle定理.

追问

能否写个格式出来？ 感谢