Question

微积分二重积分题目

如图

Answer 1

解：(4)，设x=ρcosθ，y=ρsinθ。∴0≤θ≤π/4，0≤ρ≤2cosθ。 ∴原式=∫(0,π/4)dθ∫(0,2cosθ)ρ3dρ=4∫(0,π/4)(cosθ)^4dθ。而，4(cosθ)^4=(1+cos2θ)2=3/2+2cos2θ+(1/2)cos4θ）,∴原式=3π/8+1。 (5)，设x=ρcosθ，y=ρsinθ。∴-π/2≤θ≤π/2，2cosθ≤ρ≤4cosθ。 ∴原式=∫(-π/2,π/2)dθ∫(2cosθ,4cosθ)ρ3dρ=60∫(-π/2,π/2)(cosθ)^4dθ=120∫(0,π/2)(cosθ)^4dθ。仿前面(4)题，∴原式=15∫(0,π/2)(3+4cos2θ+cos4θ)dθ=45π/2。供参考。