一道高数题目
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设A=lim(n->∞) (n!)^(1/n) /n
则：A=lim(n->∞) (n!/n^n)^(1/n)
lnA=lim(n->∞) (1/n)*ln[(1/n)*(2/n)*(3/n)*...*(n/n)]
=lim(n->∞) [ln(1/n) *(1/n) + ln(2/n) *(1/n) + ln(3/n) *(1/n) + ... + ln(n/n) *(1/n)]
=∫ (上限1,下限0) lnx dx
= (xlnx - x) | (上限1,下限0)
= lim(x->0) xlnx - 1
= -1
所以：A=e^(-1)=1/e
即：lim(n->∞) (n!)^(1/n) /n = 1/e
则：A=lim(n->∞) (n!/n^n)^(1/n)
lnA=lim(n->∞) (1/n)*ln[(1/n)*(2/n)*(3/n)*...*(n/n)]
=lim(n->∞) [ln(1/n) *(1/n) + ln(2/n) *(1/n) + ln(3/n) *(1/n) + ... + ln(n/n) *(1/n)]
=∫ (上限1,下限0) lnx dx
= (xlnx - x) | (上限1,下限0)
= lim(x->0) xlnx - 1
= -1
所以：A=e^(-1)=1/e
即：lim(n->∞) (n!)^(1/n) /n = 1/e
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