Question

高中向量题求解，如图

Answer 1

不要看下面的文字，看下面的图片。

①不妨设P(x,y)，A(-1,0)，B(0,√3)，C(1,0)。

②则(PA) ⃗⋅(PB) ⃗+(PB) ⃗⋅(PC) ⃗+(PC) ⃗⋅(PA) ⃗=3x^2+3y^2-2√3 y=0⇒x^2+(y-√3/3)^2=2/3。而(PA) ⃗⋅(PB) ⃗=x+x^2-√3 y+y^2不管是用三角换元还是什么都很难计算。

④而画图易知，令A(-1,0)，B(1,0)，得到的结果是一样的。则(PA) ⃗⋅(PB) ⃗=x^2-1+y^2，令√(2/3) cosθ=x，√(2/3) sinθ+1/√3=y，得到x^2-1+y^2=(2√2)/3 sinθ，则取值范围为[-(2√2)/3,(2√2)/3]。

⑤如有疑问可追问。

Answer 2

设O为等边三角形的重心，
把pa,pb,pc换成po+oa,po+ob,po+oc,
注意是等边三角形，你带入化简得po*po=1,
op长度是1，方向任意
于是pa*pb=...=-op*（oa+ob）,
oa+ob长度是2/√3，
所以最后结果就是-2/√3～2/√3