Question

求定积分的题 ，如图所示，求解析

有2个疑问：
1 .图1是我的思路，想问下我的思路“被积函数是偶函数，且是以派为周期函数，所以原式=2倍的0到派的积分”对吗？
2 . 图2是答案，请问第2行是如何转成第三行的？第2行的（派-t）看起来有点复杂呢？这要怎么处理呢？

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Answer 1

关于“1”，对本题不能直接用。该性质的应用，须以定积分的“积分区间”对称为前提，本题中的积分区间不对称。
关于“2”，是对x∈[π/2,π]换元处理，可行。事实上，“令x=π-t”的求解过程不如“令x=π/2+t”来得“简单”。其过程如下：
令x=π/2+t。∴∫(π/2,π)sin²x(cosx)^4dx=∫(0,π/2)cos²t(sint)^4dt。
∴原式=∫(0,π/2)sin²xcos²xdx=(1/4)∫(0,π/2)sin²(2x)dx=(1/8)∫(0,π/2)[1-cos(4x)]dx=π/16。
供参考。

追问

您的方法确实更简单，但我还是想知道第二行的（派—t）是如何处理变成第三行那样的？您能详细说下吗

这是诱导公式，我明白了

追答

好的。有问题再交流哈。

追问

我算了下，结果没对上

不知道是哪个计算步骤出了问题

Answer 2

如图所示