Question

数学导数题

给定曲线y=x²+5x+4
1.确定b，使直线y=-x/3 +b为曲线的法线
2;求过点（0,3）的切线

Answer 1

1.曲线过任意点（x.,y.)(y.=x².+5x.+4)不垂直于x轴的法线方程为：
y=-(x-x.)/(2x.+5) +y.
要使y=-x/3 +b为此曲线的法线，则：
-1/(2x.+5)=-1/3 ①
x².+5x.+4+x./(2x.+5)=b ②
由①② 联立解得：x.=-1,b=-1/3
即b的值为-1/3
2.过曲线上任意点（x.,y.)(y.=x².+5x.+4)的切线方程为
y=(2x.+5)(x-x.) +y.
点（0,3)不在曲线上，令x=0,y=3,解得：x.=±1，即曲线上点(1,10)，(-1,0)
处的切线为y=7x+3,y=3x+3
综上：过点（0,3）的切线为y=7x+3,y=3x+3

Answer 2

1.要想直线y=-x/3 +b成为曲线的法线，那么曲线斜率为3.
即y'=2x+5=3
所以x=-1，代入曲线方程得y=0，即点（-1,0）在法线上，带入发现方程求得b=-1/3

2.设该切线与曲线交点为（m，n），那么2m+5=（n-3）/m
将（m，n）带入曲线方程得n=m^2+5m+4
联立上述两方程
解得m=1,n=10或m=-1,n=0
由此得切线方程为y=3x+3或y=7x+3

Answer 3

y'=2x+5,
y=-x/3 +b的斜率-1/3，
则切线斜率3，此时x=-1，故切线为
y=3x+3,过（-1,0），则b=1/3；
2）首先判定（0,3）不在曲线上，设切点（a，b）,则b=a^2+5a+4,切线为
y=(2a+5)x+3,将（a,b）代入，求a