Question

y"＋(y')²＝1,y|x＝0＝0,y'|x＝0＝0 求满足初始条件的特解

Answer 1

设 p＝y'，则 y''＝dp/dx
＝dp/dy * dy/dx＝pdp/dy，
代入得 pdp/(1 - p²)＝dy，
积分得 - 1/2 * ln(1 - p²)＝y＋C，
所以 1 - p²＝e^(-2y＋C)，
。。。。

Answer 2

设y'=p，则y''=p'，故p'+p^2=1，具体过程，如图所示

Answer 3

解：∵微分方程为y"+(y')²=1 ∴设y'=u，
方程化为u'+u²=1，du/dx=1-u²，
du/(1-u²)=dx，
[1/(1+u)+1/(1-u)]du=2dx，
ln|(1+u)/(1-u)|=2x+ln|a|
(a为任意常数)，(1+u)/(1-u)=ae^2x
∵y'|(x=0)=0 ∴u|(x=0)=0，有
a=1 ∴有(1+u)/(1-u)=e^2x，
1+u=e^2x-ue^2x，u=(e^2x-1)/
(e^2x+1)，u=2e^2x/(e^2x+1)-1，
y'=2e^2x/(e^2x+1)-1，
y=ln(e^2x+1)-x+c(c为为任意常数)
∵y|(x=0)=0 ∴有c=-ln2，方程的特 解为y=ln(e^2x+1)-x-ln2

Answer 4

方法如下图所示，请认真查看，祝学习愉快：