Question

求yy''=2(y'^2-y')满足初始条件y(0)=1,y'(0)=2的特解 还有具体步骤

Answer 1

解题过程：

设y' = p

y'' = dp/dx = dp/dy * dy/dx = pdp/dy

ypdp/dy = 2(p² - p)

dy/y = dp/2(p-1)

2lny = ln(p-1) +c

y² = C(y'-1)

将y(0) = 1，y'(0) = 2代入得出C = 1

dy/dx = y²+1

dy/(y²+1) = dx

acrtany = x+C

y = tan(x+C)

将y(0) = 1代入得C = π/4

y = tan(x+π/4)

性质：

微分方程，是指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。

微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。

物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。

数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向，但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。

不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部分性质。在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用电脑来找到其数值解。 动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析，而许多数值方法可以计算微分方程的数值解，且有一定的准确度。

Answer 2

设y' = p
那么y'' = dp/dx = dp/dy * dy/dx = pdp/dy
所以ypdp/dy = 2(p² - p)
化简得dy/y = dp/2(p-1)
积分得2lny = ln(p-1) +c
也就是y² = C(y'-1)
将y(0) = 1，y'(0) = 2代入得C = 1
所以dy/dx = y²+1
也就是dy/(y²+1) = dx
积分得acrtany = x+C
也就是y = tan(x+C)
将y(0) = 1代入得
C = π/4
所以y = tan(x+π/4)