Question

若x,y满足约束条件5x+3y≤15，y≤x+1，x-5y≤3 ，当z=ax+y取得最大值时，(x,y)的解有无穷个，求实数a的值

Answer 1

在平面直角坐标系中作出满足该线性约束条件组的可行域△ABC，其中A（1.5,2.5），B（-2,-1），C（3,0）.
解一：由z=ax+y，可得y=-ax+z，求z的最大值，即求直线y=-ax+z的截距的最大值（线性规划的基本方法，不赘述了）
若a>0，则-a<0，由图易知，直线y=-ax+z与直线AC重合时，满足题设条件（即“取最大值时(x,y)的解有无穷多个”）。
由A（1.5,2.5），C（3,0），可求得直线AC的斜率为-5/3，所以-a=-5/3，即a=5/3;
若a<0，则-a>0，由图易知，此时不可能有直线满足题设条件。
故：a=5/3
解二：由线性规划最优解的性质可知，当可行域为封闭凸多边形（如三角形）时，最优解必然出现在顶点位置。
由A（1.5,2.5），B（-2,-1），C（3,0）.可以求得相应的z值为：
z（A）=1.5x+2.5，z（B）=-2x-1，z（C）=3x，
若“z=ax+y取最大值时(x,y)的解有无穷多个”，则应有在
z（A）=Z（B）>z（C），或z（B）=Z（C）>z（A），或z（A）=Z（C）>z（B），
分别解方程与不等式，可求得a=5/3