Question

设f(x)=lim(n→∞)(x^2n-1+ax^2+bx)/（x^2n）+1是连续函数，求a和b的值。

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

f(x)=lim(n→∞)(x^2n-1+ax^2+bx)/（x^2n）+1
当|x|<1时，n→∞，x^2n-1、x^2n→0，此时
f(x)=ax^2+bx
x=1时，f(x)=(a+b+1)/2
x=-1时，f(x)=(a-b-1)/2
当|x|>1时，f(x)的分子分母同时除以x^2n
f(x)=lim(n→∞)(x^-1+ax^2-2n+bx^1-2n)/（x^-2n）+1
=x^-1
所以，
当|x|<1时，f(x)=ax^2+bx
当|x|>1时，f(x)=x^-1
x=1时，f(x)=(a+b+1)/2
x=-1时，f(x)=(a-b-1)/2
x->1,a+b=(a+b+1)/2=1^-1=1
x->-1,a-b=(a-b-1)/2=-1
解得：
a=0,b=1

Answer 3

f(x)=lim(n→∞)(x^2n-1+ax^2+bx)/（x^2n）+1
当|x|<1时，n→∞，x^2n-1、x^2n→0，此时
f(x)=ax^2+bx
x=1时，f(x)=(a+b+1)/2
x=-1时，f(x)=(a-b-1)/2
当|x|>1时，f(x)的分子分母同时除以x^2n
f(x)=lim(n→∞)(x^-1+ax^2-2n+bx^1-2n)/（x^-2n）+1
=x^-1
所以，
当|x|<1时，f(x)=ax^2+bx
当|x|>1时，f(x)=x^-1
x=1时，f(x)=(a+b+1)/2
x=-1时，f(x)=(a-b-1)/2
x->1,a+b=(a+b+1)/2=1^-1=1
x->-1,a-b=(a-b-1)/2=-1
解得：
a=0,b=1