Question

高次复数方程

Answer 1

1)
是指x^3=1的三个解吧？可以直接用公式解得：
因为1=cos0+isin0=e^i0
它的3次方根为e^i(2kπ)/3,
k=0,
1,2
即为1,，（√3i-1）/2
和（-√3i-1）/2。
也可以直接用因式分解：x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0
得：x-1=0,
或x^2+x+1=0
同样得x=1，（√3i-1）/2
和（-√3i-1）/2。
2)
(x+1)^n+x^n=0
化为：(x+1)^n=-x^n
(1+1/x)^n=-1
(1+1/x)^n=e^iπ
开n次方，得：1+1/x=e^i(2k+1)π/n,
k=0,
1,..n-1
得：x=1/[1-e^i(2k+1)π/n],
k=0,1,..,n-1.
=1/[1-cos(2k+1)π/n-isin(2k+1)π/n]
=[1-cos(2k+1)π/n+isin(2k+1)π/n]/[(1-cos(2k+1)π/n)^2+(sin(2k+1)π/n)^2]
=[1-cos(2k+1)π/n+isin(2k+1)π/n]/[2-2cos(2k+1)π/n
]
=1/2+isin(2k+1)π/n/[2-2cos(2k+1)π/n]
因此每个根的实部都为1/2

Answer 2

首先，把方程化简为z(z^3-2)=0
，解得z=0
或
z^3=2
所以在实数范围内可解得z=0或z=3次根号2
在复数范围内，有两种解法，具体如下：
高中方法：2=2（cos360°+isin360°）
（其中i为虚数单位）
把360°三等分，得0°，120°，240°，所以z^3=2有三个解：
z1=3次根号2（cos0°+isin0°）
z2=3次根号2（cos120°+isin120°）
z1=3次根号2（cos240°+isin240°）
其中z1就是实数解。
大学解法：z^3=2，由欧拉公式得z=e^(ikπ/3)，其中k=0，1，2
ok~~