Question

欧拉公式是用sin 那cos表达式转换是什么？

Answer 1

实际上在定义
e^(x+iy)
的值具体是多少之前，讨论它是没意义的
而
e^(x+iy)＝e^xcosy＋ie^xsiny
正可以作为单变量的复变函数
f(z)=e^z
在
z=x+iy
处的定义
所以从这点来看欧拉公式是不需要证明的，你看到的证明是怎么回事呢？
是因为有些时候我们用另一种定义去定义
f(z)=e^z
的值，
那就是用幂级数
f(z)=e^z=1+z+z^2/2+...+z^n/n!+...
来定义，
而那个证明就是证明了这两种定义之间的等价性
现在我们有了复指数函数的定义（而且是出自两种不同的方式，却相互和谐的定义）
但是对三角函数，我们还只能处理实变量的情况，现在我们要继续推广出复变量的三角函数。
因为我们希望复变量三角函数仍然满足欧拉公式
e^z=cosz+isinz
同时注意到
e^(-z)=cos(-z)+isin(-z)=cosz-isinz
所以我们就"顺水推舟地"定义
cosz=(e^z+e^(-z))/2
类似的，定义
sinz=(e^z-e^(-z))/2i，tanz=sinz/cosz
这样定义出来的复变量的三角函数当然也符合欧拉公式了，不过此时的正余弦函数失去了“有界性”，即对任意的复数w，不能总保证
sinw
或者
cosw
的模不大于1
这样欧拉公式
e^z=cosz+isinz
就对任意的复数z都成立了。