Question

求下列各微分方程的通解或给定条件下的特解

Answer 1

解：（1）∵原方程的特征方程是r^2-r-6=0，则r1=3，r2=-2
∴原方程的通解是y=C1e^(3x)+C2e^(-2x)
(C1,C2是常数)；
（2）∵原方程的特征方程是r^2-6r+9=0，则r=3（二重根）
∴原方程的通解是y=(C1x+C2)e^(3x)
(C1,C2是常数)
∵y(0)=1，y'(0)=0
∴代入通解，得C1=-3，C2=1
故原方程满足初始条件的特解是y=(1-3x)e^(3x)；
（3）∵原方程的特征方程是r^2-4r+4=0，则r=2（二重根）
∴原方程的通解是y=(C1x+C2)e^(2x)
(C1,C2是常数)。

Answer 2

求下列微分方程的通解或在给定初始条件下的特解
1。(dy/dx)-y/x-1=0，y(e)=3e；
解：令y/x=u，则y=ux；对x取导数得dy/dx=(du/dx)x+u，代入原式得：
(du/dx)x+u-u-1=0，即有(du/dx)x=1；分离变量得du=dx/x；积分之得u=lnx+lnc=ln(cx)，
故得通解为y=xln(cx)；代入初始条件：3e=eln(ce)=e(lnc+1)，即有lnc=2，c=e²；
于是得特解为y=xln(e²x)=x(2+lnx)=2x+xlnx；
2。xy'+2y=0，y(1)=1；
解：dy/dx=-2y/x；分离变量得dy/y=-2dx/x；取积分得lny=-2lnx+lnc=ln(c/x²)
故得y=c/x²，即通解为x²y=c；代入初始条件得c=1，故得特解为x²y=1.