Question

证明：1+1/2+1/3+……+1/n>In(n+1)+n/(2n+2)

Answer 1

简单分析一下，详情如图所示

原理

Answer 2

推荐：给你一个简单的证明方法：构造函数法。我们注意到：ln(n+1)=ln[(n+1)/n]+ln[n/(n-1)]+...+ln(3/2)+ln(2/1)，而n/(n+1)=1-1/(n+1)=[1-1/2]+[1/2-1/3]+...+[1/n-1/(n+1)],于是我们根据不等两边通项构造函：f(x)=x-ln(1+x)-(1/2)[x-x/(x+1)],x>0,求导易得：f(x)=x^2/[2(x+1)^2]>0,即f(x)在x>0上单调递增，又f(x)在x=0可连续则f(x)>f(0)=0,x>0。即x-ln(1+x)-(1/2)[x-x/(x+1)]>0,亦即x>ln(1+x)+(1/2)[x-x/(x+1)],现将x用1/n（>0）替换整理可得：1/n>ln[(n+1)/n]+(1/2)[1/n-1/(n+1)]，并将此不等式n项累加得：1+1/2+1/3+...+1/n>{ln[(n+1)/n]+ln[n/(n-1)]+...+ln(2/1)}+(1/2){[1-1/2]+[1/2-1/3]+...+[1/n-1/(n+1)]}=ln(n+1)+(1/2)[1-1/(n+1)]=ln(n+1)+n/(2n+2),于是原命题得证！

Answer 3

这个是针对高中水平童鞋的答案，大学童鞋的话，这就太简单了，自己动手就很简单了
记左边fn,右边gn，f1=1＞g1=ln2+1/4≈0.693+0.25
①
fn+1
-fn=1/（n+1），gn+1
-gn=ln(1+1/(n+1))+0.5*[1/(n+1)-1/(n+2)]
令δ=(fn+1
-fn)-(gn+1
-gn)=0.5(1/(n+1)+1/(n+2))-ln(1+1/(n+1))
又令x=1/(n+1）则δ=0.5（x+x/(1+x)）-ln(1+x)
由于n≥1，0＜x≤0.5，2/3≤1/(1+x)＜1
对δ求导δ‘=0.5（1+1/(1+x)²）-1/(1+x)
=0.5[1-1/(1+x)]²＞0
所以fn+1
-fn＞gn+1
-gn对于任意n成立
②
由①②可知fn+1=f1+∑（fk+1
-fk）＞g1+∑（gk+1
-gk）=gn+1
此即原不等式
证明完毕